8 Shewharts kontroldiagram
Shewhart opfandt kontroldiagrammet i 1924 som et enkelt redskab til at skelne mellem almindelig og særlig variation i produktionsprocesser. Shewhart arbejdede på det tidspunkt i inspektionsafdelingen på Bell Labs, som producerede telefonapparater. Han beskrev i sin første bog fra 1931 [10] en lineær og ineffektiv metode til kvalitetskontrol: specifikation \(\rightarrow\) produktion \(\rightarrow\) inspektion. Man inspicerede simpelthen alle færdige produkter og kasserede eller reparerede dem, der ikke overholdt specifikationerne. Shewhart fandt ud af, at man ved at indarbejde kvalitetsstyring i alle led af produktionskæden, kunne minimere eller ligefrem undgå, defekte produkter i sidste ende og dermed spare virksomheden for mange resurser. Det var til dette formål, han opfandt kontroldiagrammet, som gjorde det muligt for medarbejderne ved samlebåndet at vide, hvornår og hvordan (som i Tabel 7.1) de skulle reagere på afvigelser i løbende kvalitetsmålinger i de forskellige led af produktionskæden.
Kontroldiagrammet er et tidsseriediagram. X-aksen viser tiden eller rækkefølgen af målingerne, og y-aksen viser indikatorværdierne. En vandret linje markerer datas midtpunkt (som regel gennemsnittet), og grænserne for den almindelige variation vises som en øvre og nedre kontrolgrænse markeret med grå baggrund i Figur 8.1.
Figur 8.1: Hospitalserhvervet bakteriæmi
Kontrolgrænserne placeres normalt ved +/- 3 standardafvigelser (SD eller sigma) fra midtlinjen. I Figur 8.1 er øvre og nedre kontrolgrænse hhv. 10 og 40. Bemærk, at standardafvigelsen, som indgår i beregningen, er den estimerede almindelige variation – ikke den puljede standardafvigelse af alle datapunkterne, som også omfatter eventuel særlig variation. For at undgå misforståelser bruger man betegnelsen sigma om den standardafvigelse, som indgår i beregning af kontrolgrænser.
Udregning af kontrolgrænser forudsætter antagelser om datas teoretiske sandsynlighedsfordeling, og der findes mange forskellige typer kontroldiagrammer til forskellige typer data. Men fortolkningen er enkel og ens for dem alle: Hvis alle målepunkterne ligger mellem kontrolgrænserne, er der almindelig variation. Målepunkter uden for kontrolgrænserne indikerer særlig variation. Vi vender tilbage til beregning af kontrolgrænser i afsnittet om valg af kontroldiagram.
Figur 8.1 viser den månedlige forekomst af hospitalserhvervet bakteriæmi på Rigshospitalet i perioden 2015-2016. I gennemsnit er der 25 tilfælde om måneden. De fleste måneder er der mellem 20 og 30 tilfælde og enkelte måneder lidt flere eller færre. Kontrolgrænserne viser, at den almindelige variation spænder fra 10 til 40 tilfælde om måneden. Med andre ord: hvis intet forandrer sig, skal vi i fremtiden ikke undre os, hvis der en enkelt måned er så få som 10 eller så mange som 40 tilfælde.
Det er vigtigt at forstå, at kontrolgrænserne beregnes ud fra den naturlige variation, der findes i data og derfor taler med processens stemme – de fortæller, hvad processen er i stand til at levere, hvad enten vi bryder os om det eller ej. Kontrolgrænser er altså noget ganske andet end specifikationsgrænser og standarder, som taler med kundens stemme.
God kvalitet – som i øverste venstre kvadrant i Tabel 7.1 – er når processen og kunden taler med én stemme, dvs. når processen er stabil, og standarden ligger på den rigtige side af midtlinjen eller kontrolgrænserne afhængig af, om den vedrører enkeltmålinger eller aggregerede målinger. Hvis fx Rigshospitalet beslutter, at mere end 35 bakteriæmier på en måned er uacceptabelt, er målet at bringe øvre kontrolgrænse ned under 35 ved at rykke hele processen ned. Hvis standarden derimod gælder gennemsnitsniveauet over længere tid, er alt i orden, fordi gennemsnittet på 25 ligger bekvemt under standarden.
8.1 Valg af kontroldiagram
Der er som nævnt udviklet mange forskellige typer kontroldiagrammer til forskellige datatyper. Forskellen ligger i måden kontrolgrænserne skal beregnes på og afhænger bl.a. af, om data er måle- eller tælledata. Tabellen viser de mest benyttede kontroldiagrammer til gængse datatyper; men der er mange flere til særlige formål, og jeg anbefaler, at man konsulterer speciallitteraturen [fx 11], hvis ens behov ikke dækkes af diagrammerne i Tabel 8.1.
Den generelle formel til beregning af kontrolgrænser er \(\bar{x}\pm3SD\), hvor \(\bar{x}\) er gennemsnittet af alle datapunkterne, og \(SD\) er den estimerede standardafvigelse for den almindelige variation.
| Diagram | Data | Antaget sandsynlighedsfordeling | Kontrolgrænser |
|---|---|---|---|
| Måledata | |||
| I | Individuelle målinger | Gaussisk | \(\bar{x}\pm2.66\overline{MR}\) |
| Xbar | Gennemsnit af flere målinger | Gaussisk | \(\bar{\bar{x}}\pm A_{3}\bar{s}\) |
| Tælledata | |||
| C | Antal defekter | Poisson | \(\bar{c}\pm3\sqrt{\bar{c}}\) |
| U | Defektrater | Poisson | \(\bar{u}\pm3\sqrt{\frac{\bar{u}}{n_{i}}}\) |
| P | Andel defekte enheder | Binomial | \(\bar{p}\pm3\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n_{i}}}\) |
| G | Enheder mellem defekte enheder | Geometrisk | \(\bar{x}\pm3\sqrt{\bar{x}(\bar{x}+1)}\) |
Begreberne defekte og defekter er statistiker-jargon for det, man tæller. Man taler om defekte enheder, når man tæller genstande, individer, processer osv., som besidder eller ikke besidder en bestemt egenskab, der som oftest – men ikke nødvendigvis – er uønsket.
En defekt enhed kan fx være en patient med et eller flere tryksår, en operation som gik galt eller et lokale, som er utilfredsstillende rengjort. Defekte er altså et enten-eller-begreb og opfører sig i naturen ofte tilnærmelsesvist binomialfordelt.
Når man tæller defekter, tæller man fænomener, som er tilfældigt fordelt i tid og rum. En defekt kan fx være et tryksår, en hospitalsinfektion, en plet på gulvet eller et stjerneskud. Defekter opfører sig ofte tilnærmelsesvist poissonfordelt.
Det er vigtigt at vælge det rigtige kontroldiagram til sine data. SPC-software er ukritisk og vil fremstille det diagram, man beder om, uanset om det er passende eller ej. I nogle tilfælde får man nogenlunde samme resultat med forskellige kontroldiagrammer; men ofte får man misvisende kontrolgrænser, hvis ikke diagramtypen passer til data.
Er man i tvivl om valget af kontroldiagram, eller skal man bare have et par hurtige, “håndlavede” kontrolgrænser på sit seriediagram, kan man (næsten) altid benytte I-diagrammet, som er kontroldiagrammernes “schweizerkniv”. I-diagrammet baserer sine kontrolgrænser på den faktiske variation mellem nabomålepunkter og kan i praksis benyttes til de fleste typer data, hvis blot udfaldsrummet (nævneren) er nogenlunde konstant. Først beregner man gennemsnittet af de individuelle datapunkter. Gennemsnittet bruger man til at placere midtlinjen. Dernæst ganger man den gennemsnitlige absolutte forskel mellem nabomålinger med 2,66, og til sidst beregner man kontrolgrænserne ved hhv. at lægge dette tal til og trække det fra gennemsnittet.
Bakteriæmitallene fra Figur 8.1 er: 29, 18, 32, 26, 21, 28, 30, 17, 27, 30, 26, 19, 19, 26, 27, 27, 26, 35, 24, 28, 27, 21, 17, 24. Gennemsnittet er 25.2, og gennemsnittet af de absolutte parvise forskelle er 5.78. I-diagrammets kontrolgrænser er derfor 25.2 \(\pm\) 2.66 x 5.78 = 9.8 – 40.6.
Kontroldiagrammet i Shewharts oprindelige version signalerer særlig variation, hvis et eller flere datapunkter falder uden for kontrolgrænserne. Men der skal et relativt stort skift i datas centrum til, før man kan regne med dette sker inden for en overskuelig tid, og ofte ønsker man en højere følsomhed for mindre men vedvarende skift i data. Derfor er der udviklet mange supplerende test til påvisning af særlig variation i kontroldiagrammer. Dette er emnet for næste kapitel.